جواب کاردرکلاس صفحه 118 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 119 - تمرین 1 در این مسئله مهندسی و اقتصادی، هدف ما ساخت استوانه‌ای با حجم ثابت و کمترین مواد اولیه (مساحت) است. **گام اول: درک روابط** طبق متن سوال، حجم استوانه $V = 1000$ است که از رابطه $V = \pi r^2 h$ به دست می‌آید. از اینجا ارتفاع را برحسب شعاع به دست می‌آوریم: $h = \frac{1000}{\pi r^2}$. هدف مینیمم کردن مساحت کل است. چون قوطی «در باز» است، مساحت شامل یک قاعده و سطح جانبی است: $S = \pi r^2 + 2\pi r h$. با جایگذاری $h$ در رابطه مساحت، تابع هدف به صورت $S(r) = \pi r^2 + \frac{2000}{r}$ به دست می‌آید. **گام دوم: یافتن نقطه بحرانی** برای یافتن مینیمم، از تابع مساحت مشتق می‌گیریم و آن را برابر صفر قرار می‌دهیم: $S'(r) = 2\pi r - \frac{2000}{r^2}$ $2\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow 2\pi r = \frac{2000}{r^2} \Rightarrow 2\pi r^3 = 2000$ $\pi r^3 = 1000 \Rightarrow r^3 = \frac{1000}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$ **گام سوم: تحلیل و نتیجه‌گیری** با بررسی علامت مشتق در اطراف این نقطه بحرانی، مشخص می‌شود که قبل از این نقطه مشتق منفی (نزولی) و بعد از آن مثبت (صعودی) است. بنابراین در $r = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$، مساحت فلز مصرفی **مینیمم** می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 119 - تمرین 2 این مسئله به دنبال یافتن تعادل بین سرعت و هزینه است. هرچه سرعت بیشتر شود، سوخت بیشتری مصرف می‌شود اما زمان سفر و سایر هزینه‌های ساعتی کاهش می‌یابد. **گام اول: استخراج تابع هزینه** می‌دانیم زمان حرکت برابر است با مسافت تقسیم بر سرعت ($t = \frac{x}{v}$). با توجه به صورت سوال، هزینه کل برای یک کیلومتر ($x = 1$) به صورت $C(v) = \frac{800000}{v} + 320 v$ تعریف می‌شود. **گام دوم: یافتن سرعت بهینه (نقطه بحرانی)** از تابع هزینه نسبت به سرعت مشتق می‌گیریم: $C'(v) = -\frac{800000}{v^2} + 320$ برای یافتن مینیمم، مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم: $320 = \frac{800000}{v^2} \Rightarrow v^2 = \frac{800000}{320} \Rightarrow v^2 = 2500$ $v = \sqrt{2500} = 50$ **گام سوم: تحلیل نهایی** در سرعت $v = 50$ کیلومتر بر ساعت، مشتق صفر می‌شود. با بررسی جدول تغییرات، مشخص است که برای مقادیر کمتر از ۵۰ مشتق منفی و برای مقادیر بیشتر مثبت است. پس سرعت بهینه برای داشتن **کمترین هزینه در هر کیلومتر**، برابر با **۵۰ کیلومتر بر ساعت** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 119 - تمرین 3 در این مسئله کلاسیک بهینه‌سازی، به دنبال یافتن دو عدد با شرایط مشخص هستیم. **گام اول: مدل‌سازی ریاضی** فرض کنیم دو عدد ما $x$ و $y$ باشند. طبق شرط سوال، تفاضل آن‌ها ۱۰ است: $x - y = 10 \Rightarrow x = y + 10$. هدف ما مینیمم کردن حاصل‌ضرب آن‌ها ($P$) است: $P = x \cdot y$. با جایگذاری مقدار $x$ در رابطه حاصل‌ضرب، تابع برحسب یک متغیر به دست می‌آید: $P(y) = (y + 10)y = y^2 + 10y$ **گام دوم: یافتن مینیمم** از تابع حاصل‌ضرب مشتق می‌گیریم: $P'(y) = 2y + 10$ مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم: $2y + 10 = 0 \Rightarrow 2y = -10 \Rightarrow y = -5$ **گام سوم: محاسبه اعداد** حالا عدد دیگر را به دست می‌آوریم: $x = y + 10 \Rightarrow x = -5 + 10 = 5$ بنابراین دو عدد مورد نظر **۵** و **۵-** هستند که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با ۲۵- می‌شود که کمترین مقدار ممکن است.